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이번에는 같은 Harmonic Oscillator 에 대한 두번째 풀이법을 알아보겠다. Analytic Method 인데, 다른 비슷한 종류의 포텐셜 V(x) 에 대하여 좀더 일반적인 풀이법이라 소개하고있다. 기본 개념은 고등미적분학의 이계미방 풀이법에서 소개되는 Power series method 를 토대로 하고 있다. 앞에서 ladder method 로 구한 ψn 을 몇개 구하다보면 한가지 규칙을 발견할수 있는데, a† 가 x에 대한 1계미분항이 포함되어 있어서 ψ1 은 exponential 앞에 1차 x 다항식이 곱해진 꼴(왜냐하면 exp에 x² 이므로 미분하면 1차항이 떨어진다), ψ2 는 다항식 x² 이 곱해진 꼴 ... 이렇게 진행하는걸 볼 수 있다. 미리 풀이된 결과로부터 가져온 것이지만, ..

두번째는 harmonic oscillator, 포텐셜의 형태가 V(x) = kx²/2 인 형태이다.이러한 포텐셜 형태는 특히나 여러 유사한 포텐셜들에 적용되는것이 많으므로 풀이방법을 알아두면 활용할 곳이 많다. V가 x의 이계함수이므로 y'' + (ax²+b)y = 0 이런 꼴의 미방을 풀어야 한다. 이러한 미방은 수학적으로 Power series method로 풀면 거의 대부분 풀수있으나, 여기서는 물리적인 파동함수의 특성을 이용하여 ladder operator를 이용한 풀이법을 알아본다. F=-kx 로 나타내어지는데, 용수철 상수 k보다 좀더 일반적인 harmonic 꼴로 하기위해 진동수 w로 나타내보자. -kx = mx'' 에서 x(t) = Asinwt + Bcoswt 이고, 여기서 w = root..

아마 슈뢰딩거 방정식 교재에 제일 처음 등장하는 문제일 것이다.포텐셜의 정의 뿐만아니라 솔루션인 파동함수 자체도 간단하게 나오기 때문에 연습하기에 딱 좋은 case이다.(비록 현실적으론 불가능하지만) 1차원 time-independent eq를 다시 써보자. -ħ²/2m ψ'' = (E-V)ψ(ψ' = dψ/dx) infinite square well은 포텐셜 우물로써 x가 0~a 까지 정의된다고 할때 양 끝점 x=0, a에서는 포텐셜이 infinite이고 가운데 0~a 사이는 0 으로 정의된다. 따라서 파동함수 자체도 무한포텐셜인 끝점을 제외한 0~a 사이에서만 정의되게 된다. 0 Cn = root(60/a^6) ∫ sin(nπx/a) * x(a-x) dx 부분적분을 이용하면 바로 풀리는 기초적분이다...

operator연산자 - 라고 번역되며 양자역학에서 매우 중요하고 유용한 도구. x = xp = -iħ▽ 가장 기본적인 오퍼레이터는 위와 같다. 이를 이용하여 운동에너지 KE = p²/2m = -ħ²▽²/2m , 포텐셜에너지를 V 라 할때,total energy = H (Hamilitonian - 헤밀토니안) 이라고 한다. 슈뢰딩거 방정식은 이러한 헤밀토니안과 파동함수 Ψ 와의 관계를 나타낸 것이다. time dependent : iħ ðΨ/ðt = HΨtime in-dependent : Hψ = Eψ 간단히 그냥 어떠한 미방을 푸는것이다. 이때에 정의되는 파동함수 Ψ 를 구하는 것이 목적인데 기본적으로 확률밀도함수의 특성을 가지도록 -infinity ~ infinity 까지 제곱적분이 1이 되도록 bo..