팽이와 지구 세차운동의 차이

회전하고 있는 물체의 각운동량은 \(L=I\omega\)로 구해진다. 

여기서 \(I\)는 ‘관성모멘텀’ 이며 회전운동에서의 질량에 해당된다.
\(\omega\)는 각속도이며 역시 회전운동에서의 속도에 해당된다고 볼 수 있다.
각운동량은 회전운동에서의 운동량으로 물체가 계속 회전하려는 ‘회전관성’을 만드는 근본적인 물리량이다.

회전관성을 쉽게 떠올리려면 느리게 굴러가는 자전거와 빠르게 굴러가는 자전거 위에서 어떤 것이 더 중심을 잡기 쉬운지 떠올리면 된다.

각운동량이 큰 빠르게 굴러가는 자전거 바퀴는 더 큰 회전관성을 가지므로 옆으로 쓰러지기 더 어렵다.

 

직선운동과 회전운동을 비교하면 아래 표와 같다.

직선운동	회전운동
속도	각속도
질량	관성모멘텀
운동량	각운동량
운동량 보존 법칙	각운동량 보존 법칙

 

위 그림처럼 각속도 \(\omega\)로 회전하는 팽이가 수직으로부터 \(\phi\)만큼 기울어져 있을 때,
질량 \(m\)인 팽이는 \(mg\)만큼의 중력을 받는다. 

이 중력은 팽이를 기울여 넘어뜨리려는 힘으로 작용하게 되는데,
바닥으로부터 무게중심까지의 거리가 \(r\)일 때 팽이를 넘어뜨리려는 힘(토크)은 \(\tau=mgrsin\phi\)가 된다. 

이 토크가 팽이의 각운동량 \(L\)을 시간 \(t\)동안 변화시키게 된다. 

즉, \(\displaystyle mgrsin\phi=\frac{\Delta L}{\Delta t}\)으로 나타낼 수 있다.

팽이가 세차운동을 할 때의 각속도 \(\omega_p\)는 같은 시간 \(t\)동안 회전축이 \(\theta\)만큼 움직였다고 가정하면 \(\displaystyle \omega_p = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}\)이 되며, 부채꼴의 호의 길이인 \(\Delta L=Lsin\phi\cdot \Delta\theta\)으로 구할 수 있으므로 세차운동 각속도 \(\omega_p\)식에서 대입해주어 정리할 수 있다. 

따라서 \(\displaystyle \omega_p = \frac{mgr}{I\omega}\)로 구해진다. 

원운동에서 한바퀴 도는데 걸리는 시간인 주기 \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}\)이므로 세차운동의 주기 \( \displaystyle T_p =2\pi \frac{I\omega}{mgr}\)로 구할 수 있다. 

팽이의 세차운동은 외부 힘이 회전축과 나란하며 회전축을 쓰러뜨리려는 토크가 발생한다.
따라서 팽이의 회전방향과 세차운동의 회전방향이 같은 방향으로 일어난다.
예를들어 중심축을 무시할 수 있는 반지름 \(R\)의 원판모양의 팽이를 가정한다면, 원판의 관성모멘트 \(I=0.5mR^2\)이므로 정리하면 \( \displaystyle T_p=\frac{\pi\omega R^2}{gr}\)이 된다.

즉, \(\omega\)(팽이의 회전각속도)가 크거나 혹은 원점(팽이 축과 바닥이 만나는 곳)으로부터 팽이의 무게중심 까지의 거리 \(r\)이 작을 수록 세차운동의 주기가 커지는 것.

 

반대로 말하면 팽이가 많이 기울어져 있거나(\(r\)이 큰 셈이다.) 팽이가 점점 느리게 회전하는 경우(\(\omega\)가 작은 셈이다.) 세차운동의 주기가 짧아지면서 팽글팽글 열심히 세차운동을 하게 되는 것.

이것은 팽이가 멈추기 직전 점점 느리게 돌면서 기울어지기 시작하며 빠르게 세차운동이 일어난다는 현상을 떠올리면 이론적 모델과 잘 연결될 것이다.

 

 

 

지구 세차운동의 의 경우는 위 그림처럼 회전축에 수직한 방향으로 태양이 지구를 끌어당기고 있다. 

이 때 작용하는 힘은 태양과 지구 사이의 만유인력이 되는데, 지구가 적도반지름이 더 큰 완벽한 구형이 아니므로 태양에서 가까운 쪽에 더 큰 만유인력이 발생한다. 

이렇게 차등 중력에 의해 위 그림 기준 북반구 하지점 위치(원일점)에서 지구 자전축을 똑바로 세우려는 초록색 화살표 방향의 회전하려는 힘이 발생한다. 

이는 동지점(근일점)에서도 마찬가지이며 춘분, 추분점에서는 서로 상쇄된다. 

따라서 지구는 공전하는 동안 전체적으로 자전축을 세우려는 힘을 받게 되며 이 힘이 바로 세차운동의 근원이 된다. 

앞의 팽이에서 와는 외부 토크 방향이 정반대이기 때문에 지구세차운동에서는 자전방향와 세차운동 방향이 서로 반대가 되므로 지구에서는 시계방향으로 세차운동이 발생한다.

 

두산 백과사전을 비롯 교과서나 시중 교재에서는 지구 세차운동을 반시계방향으로 잘못 표기한 경우가 많은데, 이는 세차운동의 설명 자체는 쉬우나 이론적 배경이 결코 쉽지 않기 때문으로 생각된다.

 

잘못 표기된 그림을 본다면 수정요청을 해보도록 하자 :D

 

 

 

Reference>

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/top.html

http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapt16.htm