Schrodinger Equation - Harmonic Oscillator (Analytic Method)

이번에는 같은 Harmonic Oscillator 에 대한 두번째 풀이법을 알아보겠다. Analytic Method 인데, 다른 비슷한 종류의 포텐셜 V(x) 에 대하여 좀더 일반적인 풀이법이라 소개하고있다.

기본 개념은 고등미적분학의 이계미방 풀이법에서 소개되는 Power series method 를 토대로 하고 있다.

앞에서 ladder method 로 구한 ψn 을 몇개 구하다보면 한가지 규칙을 발견할수 있는데, a† 가 x에 대한 1계미분항이 포함되어 있어서 ψ1 은 exponential 앞에 1차 x 다항식이 곱해진 꼴(왜냐하면 exp에 x² 이므로 미분하면 1차항이 떨어진다), ψ2 는 다항식 x² 이 곱해진 꼴 ... 

이렇게 진행하는걸 볼 수 있다. 미리 풀이된 결과로부터 가져온 것이지만, exp 항을 보아도 root(mw/ħ) 이 미분으로 자꾸 생겨난다는 점을 고려해볼때 다음과 같은 dimensionless 변수를 정의해보자.

ξ = root(mw/ħ) x

(ξ 는 zeta라고 읽는다.)

본래의 슈뢰딩거 eq 으로 돌아와서 보면 ψ(x) 가 아니라 ψ(ξ) 에 대한 변환을 실시해보면 다음과 같은 간단한 형태로 정리된다.

d²ψ/dξ² = (ξ² - K)ψ

(여기서 K = 2E/ħw)

상수 K에 대하여 일단 ξ가 매우 큰 상황을 고려해보면(즉 x->±∞) 위의 이계미방은 d²ψ/dξ² = ξ²ψ 이라는 간단한 형태가 되고 따라서 ψ를 구하면,

ψ(ξ) = A exp(-ξ²/2) + B exp(ξ²/2)

이라 근사할 수 있다. 이중에 ξ->±∞ 일때 0으로 가는 solution만 선택해주면,

ψ(ξ) = ~exp(-ξ²/2) 꼴임을 알수있는데, 이는 ξ가 매우 클때의 근사인것과 앞에서 ladder method로 구한 ψ의 기본적인 형태를 생각한다면 exponential 앞의 항이 ξ에 관한 다항식으로 잡아보자.

즉, ψ(ξ) = h(ξ)exp(-ξ²/2) 라고 놓을 수 있다.

여기서 우리가 설정한 해는 슈뢰딩거 eq를 만족해야 하므로, 다시 본래의 eq에 넣어보면 다음과 같이 정리된다.

d²h/dξ² - 2ξ dh/dξ + (K-1)h = 0

이것이 h(ξ) 에 대한 main eq이 된다. 이제 ξ에 대한 power series method를 사용해보자.

위의 식을 만족하는 해 h(ξ) = a0 + a1ξ + a2ξ² + ...... 이라고 놓고, 각각 h'(ξ), h''(ξ) 도 급수형태로 나타내면 다음과 같다.

앞의 계수들을 합쳐쓰기 위하여 sigma 항을 조절하였다. dh/dξ 는 앞에 ξ가 한번 곱해지므로 ξ^(j-1) 항으로 맞춘다.

이제 본래의 미방에 대입해주면 다음과 같다.

따라서 앞의 계수들이 0이 되어야 하므로 정리해보면 다음과 같은 점화식을 얻을 수 있다.

위의 점화식을 recursion formula 라고 한다. 처음 시작 두항인 a0, a1 에 대하여 각각 짝수, 홀수 항들을 구할수가 있는데 일반항으로 간단하게 표현할수는 없다.

여기서 한가지 트릭이 사용된다. 일단 aj 에 대하여 j가 아주 크다고 가정하였을때 위의 점화식은 다음과같이 근사된다.

따라서 위의 점화식에 대한 일반항 aj 를 구하면 다음과 같다.

(단, C는 어떤 상수. 덧붙이자면 위는 대략적인 계산이다. j가 아주 클때 aj의 추세를 알아보기위함으로 이러한 근사를 이용한다)

따라서 본래의 h(ξ) 에 aj 를 넣어서 계산해보면 다음과 같다.

이렇게 h(ξ) 가 구해졌는데, 문제는 본래의 파동함수가 ψ(ξ) = h(ξ) exp(-ξ²/2) 임을 생각해보면 h(ξ) 을 대입하면 ~exp(ξ²/2) 가 되면서 ξ->±∞ 일때 0이 되지않는다.

즉, 이것은 power series h(ξ) 가 어느 항을 기점으로까지만 존재하여야 한다는 것을 암시한다.(ξ가 더이상 커지면 주어진 파동함수는 물리적 의미를 잃는다)

n번째 항 까지만 정의되고 나머지 an+2 = an+4 = .... = 0 이 된다고 해보자.

이러기 위해서는 recursion formula 에서 K = 2n + 1 의 조건이 정의된다. K = 2E/ħw 임을 상기하면 결국 에너지는 다음과 같다.

E = (n+1/2)ħw

n = 0, 1, 2 ....

앞서 ladder operator 로 구한 에너지와 같은 결과가 나오게 된다.

K = 2n+1 을 대입하여 점화식을 다시 써보면 다음과 같다.

먼저 짝수항만 살펴보자.( j = even -> a1 = a3 = a5 ... = 0 )

j=0 일때 a2 = -na0 이고, 여기서 n=0 일때는 a2 = a4 = ... = 0 이 된다.

그러므로 ground state 인 h0(ξ) = a0 이므로 

ψ0(ξ) = a0 exp(-ξ²/2)

이번엔 first excited 를 구해보자. 이번엔 j = odd 이므로 a0 = a2 = ... = 0 이며, n = 1 , j = 1 일때 a3 = a5 = ... 0 이므로 h1(ξ) = a1ξ 따라서 파동함수는

ψ1(ξ) = a1ξ exp(-ξ²/2)

이렇게 주어진 recursion formula와 h(ξ) 의 정의를 이용하여 계속해서 구해나갈수 있다.

점화식에서 비롯되는 ξ에 관한 다항식 formula는 Hn = Hermite polynomials 라고 불리우며 table 로 다 계산되어 있다.

앞에 붙는 a0, a1 두 상수는 nomarlize 과정에서 제거될수 있으며 그에 따른 n번째 파동함수는 다음과 같이 계산된다.

앞서구한 ladder method 와 비교해보면, Hn/root(2^n) 항이 ladder 에서는 (a†)^n 에 대응된다는 점을 알 수 있다.

하지만 ladder method 와는 달리 이러한 analytic method는 harmonic potential 뿐만아니라 중력포텐셜(~1/x²), 장포텐셜(~1/x) 등등 여러 포텐셜에 모두 사용가능한 방법이라는 것이다.

(이는 power series method가 기본적으로 이계미방의 가장 general한 풀이법이라는 것과도 일맥상통한다.)

위 식에서 Hn, Hermite polynomail 에 관한 자세한 내용은 아래 링크를 참고하여도 좋을 것이다.

(http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomial#Definition)