Schrodinger Equation - Infinite Square Well(슈뢰딩거 방정식 무한포텐셜)

아마 슈뢰딩거 방정식 교재에 제일 처음 등장하는 문제일 것이다.

포텐셜의 정의 뿐만아니라 솔루션인 파동함수 자체도 간단하게 나오기 때문에 연습하기에 딱 좋은 case이다.(비록 현실적으론 불가능하지만)

1차원 time-independent eq를 다시 써보자.

-ħ²/2m ψ'' = (E-V)ψ

(ψ' = dψ/dx)

infinite square well은 포텐셜 우물로써 x가 0~a 까지 정의된다고 할때 양 끝점 x=0, a에서는 포텐셜이 infinite이고 가운데 0~a 사이는 0 으로 정의된다. 따라서 파동함수 자체도 무한포텐셜인 끝점을 제외한 0~a 사이에서만 정의되게 된다.

 0<x<a 일때 위의 eq는 V=0이므로 다음과 같이 간단히 표현된다.

-ħ²/2m ψ'' = Eψ

이는 단순한 ψ에관한 이계미방이며 k = root(2mE)/ħ 이라 할때 ψ는 다음과 같다.

ψ = Asinkx + Bcoskx

이제 boundary condition을 고려해보자. 양 끝점에서 ψ = 0 이 되어야 하므로 x=0 에서 B=0

x=a 에서 Asinka = 0 인데 A≠0 이므로 sinka = 0 ∴ k = nπ/a (n=1, 2, 3...)

그런데 k에 관한 정의에서 정리해보면 E = n²π²ħ²/2ma² 이 된다.

이말인즉슨 포텐셜 안에 존재하는 입자의 에너지가 연속하지않고 n=1 , 2, ... 일때마다 계단형식으로 끊어지는 불연속하다는 것, 즉 양자화 되어있다는 것이다.

ψ = Asin nπx/a 에서 nomalize 하여 앞의 계수 A까지 구하면

ψn = root(2/a) sin (nπx/a) 

여기서 구한 ψ는 time을 제외한 항이므로 실제 파동함수 Ψ 를 구하려면 여기에 time 항인 φ(t) 와 어떠한 계수 Cn 을 곱한 것들의 합이 될 것이다.

(선형미방에서 general solution 을 구할때 particular solution 들의 합으로 표현하는 것과 같이 보면 된다)

φ(t) = exp(-iEt/ħ) 으로 구해지며(이에 대한 과정은 생략. time dependent eq를 time in-dependent eq로 변환과정에서 변수분리법으로 구해진다)

상수 Cn은 미방에서처럼 초기조건이 주어져야 구할수 있다. 

예를들면 초기조건으로 t=0일때 파동함수 Ψ(x,0) 이 주어졌을때 Cn은 다음과같이 구해진다.

Cn = ∫ ψn Ψ(x,0) dx

예제>

A particle in the infinite square well has the initial wave function Ψ(x,0) = Ax(a-x), (0≤x≤a) for some constant A. Outside the well, Ψ = 0. Find Ψ(x,t)

sol.

먼저, nomalize를 하자.

∫ A²x²(x²-2ax+a²) dx = A² * a^5/30 = 1 

∴ A = root(30/a^5)

그리고 Cn을 구한다.

ψn = root(2/a) sin(nπx/a) 이므로,

-> Cn = root(60/a^6) ∫ sin(nπx/a) * x(a-x) dx

부분적분을 이용하면 바로 풀리는 기초적분이다.(단지 귀찮을 뿐이지..)

슈뢰딩거 방정식 특성상 sin, cos과 다항식의 곱, exp 함수와 다항식의 곱 형태 적분이 많이 나오는데 이때 대부분 부분적분을 여러번 수행해야 한다.

아는 사람도 있겠지만 연속적인 부분적분에 대한 유용한 tool은 다음 링크를 참고.

http://kin.naver.com/open100/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=1373278

integral 범위는 당연히 0~a 까지인것을 상기하면서 적분을 구해보면,

n이 짝수일때는 0, 홀수일때만 8√15/(nπ)³ 이 나옴을 알수있다.

즉, Cn은 홀수항만 존재한다는 뜻.

따라서 최종적으로 Ψ(x,t)는 다음과 같다.

Ψ(x,t) = root(30/a) 8/π³ Σ sin(nπx/a) φ(t) / n³ (n = 1,3,5 ...)

φ(t) 는 위에 말했듯이 exp(-Eit/ħ) 인데, 여기 infinite well 에서 구한 En을 E에 대입해주면 된다.