Schrodinger Equation(슈뢰딩거 방정식) - 기본 개념

operator

연산자 - 라고 번역되며 양자역학에서 매우 중요하고 유용한 도구.

x = x

p = -iħ▽

가장 기본적인 오퍼레이터는 위와 같다. 이를 이용하여 운동에너지 KE = p²/2m = -ħ²▽²/2m , 포텐셜에너지를 V 라 할때,

total energy = H (Hamilitonian - 헤밀토니안) 이라고 한다.

슈뢰딩거 방정식은 이러한 헤밀토니안과 파동함수 Ψ 와의 관계를 나타낸 것이다.

time dependent : iħ ðΨ/ðt = HΨ

time in-dependent : Hψ = Eψ

간단히 그냥 어떠한 미방을 푸는것이다. 이때에 정의되는 파동함수 Ψ 를 구하는 것이 목적인데 기본적으로 확률밀도함수의 특성을 가지도록 -infinity ~ infinity 까지 제곱적분이 1이 되도록 boundary를 잡는다. 이 과정에서 Nomalized 하여 앞의 상수도 정하는 것.

보통의 문제에서 다루는 time independent 1차원 슈뢰딩거 방정식은 divergence ▽를 간단히 하여 다음과 같이 나타난다.

-(ħ²/2m) ð²ψ/ðx² = (E-V)ψ

양자역학적 특성을 나타내는 factor로 standard deviation 이 있다. σ 로 표시하는데 예를들면 위치 x에 대한 σ 는 다음과 같다.

σx² = <x²> - <x>²

<x²> 과 <x>² 은 절대로 같은 값이 나오지 않는다. 이것을 양자적 spread 라고 하며, 양자효과가 약해지는 거시적 측정에서는 같게 나오며 따라서 σ = 0 이 나온다. 반대로 양자역학에서는 측정을 아무리 정확하게 하려고 해도 어떠한 한계 spread에 부딛히게 되고, 이로인해 도출되는 것이 그 유명한 불확정성의 원리이다.

σx * σp ≥ ħ/2

불확장성의 원리 대상이 되는 두개 factor는 위치와 운동량이 유일한것이 아니다. 위는 가장 유명한 하이젠베르크의 불확장성의 원리(Heisenberg uncertainty principle)이고, 이 외에도 total 에너지와 측정시간의 곱 등도 불확정성의 원리에 해당된다.

순서가 조금 바뀌었는데, expectation value = 기대값을 나타낼때 주어진 변수 옆에 꺾은 괄호를 친다.

예를들면 위치의 기대값 : <x> 이런식이다.

위의 σ를 구하려면 x의 기대값과 x² 의 기대값을 구하여야하는데, 양자역학에서는 이러한 기대값들을 구할때 파동함수 Ψ와 그의 켤레인 Ψ* 사이에 주어진 오퍼레이터를 넣어서 적분하여 구한다.

예를들면 이런식이다.

<p> = ∫ Ψ* (-iħ ð/ðx) Ψ dx

이러한 기대값을 구하는 과정은 양자역학적 솔루션을 풀어서 나오는 파동함수를 가지고 얻어낼수있는 가장 중요한 값들임에 틀림없고, 따라서 슈뢰딩거 방정식을 풀거나 풀고난 다음에는 대부분 적분을 지겹도록 하게된다.

주어진 포텐셜 V 에 따라 가장 기본적인 infinite well 로 시작하여 harmonic oscillator, finite well, free particle(no V), Delta-function potential 등등을 다룬다.