Schrodinger Equation - Harmonic Oscillator(슈뢰딩거 방정식 조화진동자)

두번째는 harmonic oscillator, 포텐셜의 형태가 V(x) = kx²/2 인 형태이다.

이러한 포텐셜 형태는 특히나 여러 유사한 포텐셜들에 적용되는것이 많으므로 풀이방법을 알아두면 활용할 곳이 많다.

V가 x의 이계함수이므로 y'' + (ax²+b)y = 0 이런 꼴의 미방을 풀어야 한다. 이러한 미방은 수학적으로 Power series method로 풀면 거의 대부분 풀수있으나, 여기서는 물리적인 파동함수의 특성을 이용하여 ladder operator를 이용한 풀이법을 알아본다.

F=-kx 로 나타내어지는데, 용수철 상수 k보다 좀더 일반적인 harmonic 꼴로 하기위해 진동수 w로 나타내보자.

-kx = mx'' 에서 x(t) = Asinwt + Bcoswt 이고, 여기서 w = root(k/m) ∴ k = mw² 이므로, 포텐셜을 다시써보면

V(x) = mw²x²/2

슈뢰딩거 eq에 넣어보자.

여기서 operator를 이용하여 좀더 보기쉽게 정리해주면 다음과 같다.

total 에너지를 의미하는 해밀토니안 (hamiltonian) 이 다음과 같다는것을 상기하며,(이제 앞으로 operator는 편의상 위에 ^ 를 생략하겠다)

H가 x² + y² 꼴임을 이용하여 복소수 i를 포함한 a와 a†(a dagger) 라는 이름의 두가지 새로운 operator를 정의해보자.

앞에 저러한 상수가 붙는 이유는 이미 계산을 다 끝낸뒤 계산상의 편의를 위해 가져온 상수이다. 위가 아니라 b = p + mwx i 식의 마음대로 정의해도 상관없다.

가만보면, operator p 에는 미분이 있기때문에 aa+ 값과 a+a 값이 다르리라 예상할 수 있다. 이를 commutator 라고 하는데, 정의는 다음과 같다.

[ A, B ] = AB - BA

(A,B는 임의의 operator)

aa†  를 우선 게산해보면 다음과 같다.

가만보면 뒤에 term은 p와 x의 commutator 임을 알수 있으므로 [p,x] 로 바꿔서 써보았다.

그럼 [p,x] 값은 어떻게 구하는가? 미분이 들어가있기 때문에 그대로 계산하기엔 뭔가 부족하다. 여기에는 약간의 트릭으로 임의의 함수를 넣어서 계산한다.

y = f(x) 라 할때,

[p,x]y = ( -iħ * d/dx * (xy) - x * -iħ d/dx * y ) = -iħ ( y ) = -iħy 

이므로, 따라서 [p,x] = -iħ 가 나온다.

[p,x] 를 넣고, Hamiltonian 으로 위의 aa†  의 값을 간단히 해보면 

aa†  = H/ħw + 1/2

가 나옴을 알 수 있다.

마찬가지 방법으로 a†a 값도 구해볼 수 있다.

a†a 를 구하려면 [x, p] 를 구해야 하는데 위와 같은 방법으로 구해보면 [x, p] = iħ 이 나오므로 똑같이 H 를 넣어 정리해보면,

a†a = H/ħw - 1/2

따라서 H = ħw(aa† - 1/2) = ħw(a†a + 1/2) 으로 표현할수 있고, 원래의 Schrodinger eq 에 넣어보면,

ħw(aa† - 1/2)ψ = ħw(a†a + 1/2) = Eψ

여기서 harmonic oscillator 의 특성이 드러난다. 바로 모든 에너지 준위 차이가 ħw 라는 것.

결과에서 도출된 것이지만, 파동함수에 a†를 곱해주면 다음 에너지 상태, 즉 E -> E+ħw 이며, 마찬가지로 a를 곱해주면 바로 한단계 아래 상태, 즉 E -> E-ħw 가 인것을 보이고자 한다.

이를 증명해주려면 위의 Schrodinger eq에 ψ 대신 a†ψ 와 aψ 를 넣어주었을때 각각 E+ħw 와 E-ħw 가 나오면 될 것이다.

단순한 계산과정이므로 과정만 쭉 나열하겠다.

i) a†ψ

a와 a†가 operator 임을 유의하며 순서를 주의하며 정리해주면 슈뢰딩거 eq에 파동함수에 a† 만큼을 곱하면 에너지가 ħw 만큼 증가한 슈뢰딩거 eq의 형태로 된다는 것임을 보일 수 있다.

두번째 aψ 도 마찬가지 방법으로 해준다.

ii) aψ

사족이지만 여기서 왜 ladder method 라는 이름이 붙어있는지 알수있다. 사다리 간격은 ħw 이고, 올라갈때는 a† (rising operator), 내려갈때는 a (lowering operator) 가 필요한 것이다.

그러므로 여기서 한가지 가정하기를, 가장 낮은 바닥상태의 파동함수를 ψ0 (lowest rung 이라고 부름) 라고 할때, 여기서 lowering operator 를 취해주면 더이상 파동함수가 존재하지않는, 즉 aψ0 = 0 이라고 할 수 있다.

따라서 a 의 정의에 의해서,

위와 같은 가장 낮은 에너지상태의 ψ0 가 구해진다.

그럼 이때의 에너지는 어떻게 될까? 슈뢰딩거 eq에 ψ0 을 넣어보면,

ħw(a†a - 1/2)ψ0 = E0ψ0 에서 aψ0 = 0 이므로,

∴ E0 = ħw/2

일반항인 ψn 과 En 은 그러므로 다음과 같다.

앞에 Cn 은 Nomalizing 상수이다.

여기서 한가지 operator 를 추가로 정의해보자.

구해진 En을 바탕으로 슈뢰딩거 eq를 다시써보면, 다음과같은 Number operator : a†a = n 를 정의할 수 있다.

aa† 도 마찬가지 방법으로 구해보면 다음과 같다.

다음으로 hermitian conjugate 를 정의하겠다.

(이렇게 정의를 왜자꾸 하나 싶을테지만 ψn 에 대한 Nomalize 상수 Cn 을 구하기 위한 과정이다.)

임의의 함수 f(x), g(x) 에 대하여 다음과 같은 성질을 만족한다.

operator a 가 함수 앞으로 이동하면 dagger가 추가되고 앞의 함수 곱 전체에 complex conjugate 를 취해준것과 같다는 것이다.

분량상 증명은 따로 빼어놓는다.(http://sillurian.tistory.com/entry/Proof-of-Hermitian-Conjugate)

n번째 파동함수 ψn 에 대하여 각각 다음과같이 계수를 cn, dn 이라고 정해보자.

파동함수의 특성을 이용하여, aψn 의 절대값의 전체적분은 1인것을 이용하자.(Nomalize 의 정의) 약간의 트릭을 써서 hermitian conjugate를 써보면 다음과 같이 된다.

마찬가지로 이번엔 a†ψn 을 이용하여 dn 을 구해보면 다음과 같다.

ψ1 = a†ψ0 

ψ2 = root(1/2) a† ψ1 

ψ3 = root(1/3) a† ψ2 

...

따라서 일반항 ψn 은 다음과 같이 완벽하게 구해진다.

harmonic oscillator 의 파동함수 ψ 도 물론 orthogonal 을 만족한다. (증명은 생략한다 - cn, dn 구한것처럼 hermitian conjugate 를 ψm, ψn 에 대하여 이용하면 쉽게 증명할 수 있다)

예제) Find the expectation value of the potential energy in the nth state of the harmonic oscillator.

-> 

<V> = mw²/2 * <x²>

위에서 구한 ψn 에 대한 x² 의 기대값을 바로 적분해도 되지만 좀더 간단한 방법을 써보자.

a와 a† 의 정의를 상기해보며 operator x를 a와 a† 로 표현해보면 다음과 같다.

그러므로 x² = ħ/2mw * (a² + aa† + a†a + a†²) 이다.

따라서 기대값의 정의에 따라 <V> 을 구해보면 다음과 같이 간단하게 나온다.

이는 total En = ħw(n+1/2) 의 정확히 절반임을 알 수있다. 나머지 절반은 당연히 Kinetic Energy 일 것이다.