Inertia Tensor.

Inertia 라는 것은 한글로 번역하면 관성이라는 뜻이다.
즉, 어떤 상태(혹은 성질)을 유지하려는 정도로써 관성이 크다면 그 상태를 바꾸기가 어렵게 된다.

질량을 예로 들면, 관성질량과 중력질량이 거의(~10^-20 order) 일치한다는 것이 실험적으로 증명되었다는 사실을 들어보았을 것이다. 관성질량이란 F = ma 에서의 m 으로, 어떠한 힘 F 를 주었을때 나타나는 가속도 a 가 얼마만큼 나타나는 지를 결정하는 척도이다. 말로 풀어쓰니 어려운데, 말그대로 m 이 크면 F를 더 많이 주어야 하고(=관성이 크다), m 이 작으면 F를 작게 주어도 a 가 크게 나타나는 것이다.

이렇듯 관성의 가장 대표적인 것이 질량이 해당된다. 

위에서 든 예는 직선운동에서 해당되는 것이고, 회전운동에서도 이러한 m 에 대응되는 양이 있는데, 그것이 관성모멘트(Inertia moment) 라고 하여 고등학교나 대학교 1학년 과정에서 배웠을 것이다. 
이때의 관성모멘트는 다음과 같은 적분으로 구할 수 있다.

이때의 관성모멘트는 스칼라량이 되며, 주어진 회전축에 대한 관성모멘트 딱 하나의 값이다.

이것을 3차원, 모든 축인 x,y,z 축에 대하여 3*3 행렬로 나타낸 것을 Inertia Tensor, 즉 관성텐서라고 한다. 

i*j 성분에 대하여 관성텐서 Iij 다음과 같은 적분으로 구해진다. 

 
δij 는 kronecker delta 라고 하여  i=j 일때 1, i≠j 일때 0 값을 갖는다.

앞에 밀도 함수로 빼서 그렇지 결국은 위의 스칼라 관성모멘트처럼 x² 이라는 거리 어떠한 제곱 term을 dm 에 관하여 적분하면 되는 것이다. 

 이때의 dv는 dx, dy, dz 가 될 수도 있고, 원기둥좌표계인 dr, dθ, dz, 극좌표계인 dr, dθ, dφ 등 어떤 것이든 상관없다.
다만 주의할 점은, 적분의 괄호안의 기본 항이 k=1,2,3 인 x1, x2, x3 즉 x, y, z에 대응되는 직교좌표계이므로,
원기둥이나 극좌표계로 dv 를 구하였다면 반드시 어느 한쪽으로 통일시켜줘야 한다.

예를들어, I11 성분의 경우 괄호안은 x1² + x2² +x3² - x1x1 = x2² + x3² = y² + z² 이 된다.

원기둥의 경우 dv = r dθ dr dz 이므로, y² + z² = r²sin²θ + z² 을 넣고 적분하여야 한다.
반대로 직교좌표계로 통일시켜도 되지만, r = root(x² + y²) 이 되는 등 훨씬 복잡해 지므로 편한 방법을 택하면 되겠다.


그러면 이렇게 구해진 3 * 3 의 I 행렬에서 각 성분들의 물리적인 의미는 무엇일까?

적절히 회전축을 바꿔가면서 계산해 보면, I11, I22, I33 등의 대각선 성분은 각각 x축, y축, z축을 중심으로 회전시켰을때에 구한 관성모멘트 값과 같다는 것을 발견할 수 있다.
그러면 나머지 6개 성분들은 -?
이는 물체를 CM(Center of Mass) 을 중심으로 회전시켰을 때에는 나오지 않는 성분으로 각 세개의 축끼리 서로 조합되는 양,
즉 xy, xz, yz, yx, zx, zy 에 해당되는 양 으로 이해하면 되겠다. 실제로 CM이 아닌 물체의 한 지점을 축으로 회전시키면 대각선을 제외한 성분들이 0이 아닌 값을 가지는 것을 볼 수 있다.